Capítulo 7: MAS

 

7) Movimiento Armónico Simple

Autor:

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

7)   Movimiento Armónico

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.

Movimiento ¬ Armónico: sen, cos

Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

• Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples.
• Lo anterior es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periódica mediante la suma sucesiva de ondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.

·         Es un movimiento periódico.

·         Producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición.

·         Cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

·       Denominamos movimientos armónicos simples (MAS) a aquellos en los que la partícula se mueve en línea recta en torno a un punto de equilibrio y que pueden expresarse mediante una función armónica (seno o coseno) de una única variable.

i) Descripción Cinemática del MAS

La ecuación del movimiento armónico simple es del tipo:

x(t ) = A sen(ω⋅ t + j) o  x (t ) = A⋅cos(ω⋅ t + j)

siendo A la amplitud, ω una constante positiva denominada pulsación o

frecuencia angular y j una constante denominada fase inicial. La unidad de pulsación SI es el radián por segundo, y la de fase inicial el radián.

El argumento de la función seno o coseno empleada en la ecuación del movimiento, ω⋅ t + ϕ, se denomina fase. Su unidad SI es el radián.

El movimiento armónico simple es periódico. El período viene dado por:

y la frecuencia por:

La ecuación de la velocidad se obtiene derivando la ecuación del movimiento  

respecto del tiempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del

movimiento se obtiene:

A partir de estas dos ecuaciones, se tiene que:

Fenomenología del MAS

Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x º0), la oscilación esta confinada para –A £ x £ A,

 ¿Cómo debería ser x (t) º? 

Donde,

w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.

w = w{k,m}

A_, d: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.

c.i.:{x (0)  Ù v (0)}

Para la velocidad,

Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).

La proyección del MCU en el eje de las y_s o en el de las x_s, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS. 

ii)   Descripción Dinámica del MAS

La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA  que depende de la posición, esto es,

Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.

F = F_R = F_s → F_Res = F_R → 2^da ley, F_R º ma

 a º Ö  ®  v º Ö  ® x º Ö

7.2) Casos especiales de MAS

i)     Sistema m-k

1)

2)

3)

Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w² = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de O_s en PE Ù PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.

Las E^c del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).

ii)  Sistema l–g

iii) Péndulo Físico 

Es un CR pendular,